Límites y convergencia de sucesiones: definiciones, criterios y casos especiales

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SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS LIMITE DE UNA SUCESION LIMITE DE UNA SUCESION Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando n toma valores muy grandes SUCESIONES CONVERGENTES SUCESIONES DIVERGENTES 𝒂𝒏 = 𝒏𝟐 TEOREMA DE COMPLETEZ PARA SUCESIONES Teorema Toda sucesión monótona y acotada es convergente. DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE DE UNA SUCESIÓN Una sucesión 𝑎𝑛 converge a un limite 𝐿 si y solo si para todo ∈> 0 existe un 𝑁( 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 ∈) tal que 𝑎𝑛− 𝐿 <∈ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 > 𝑁. Se escribe entonces: lim 𝑎𝑛 = 𝐿 𝑛→∞ Ejemplo: Demuestre formalmente que lim 𝑛→∞ 𝑛 1 = 0 LIMITES ESPECIALES DE SUCESIONES 𝑐 1) lim = 0 𝑠𝑖 𝑘 > 0 𝑛→∞ 𝑛𝑘 2)Sucesiones lineales: lim ( 𝑎0 + 𝑛𝑑) = ∞ 𝑛→∞ 3)Sucesiones geométricas: depende del valor de r lim 𝑛→∞ 𝑐𝑟𝑛 = 0, 𝑠𝑖 |𝑟| < 1 ∞, 𝑠𝑖 𝑟 > 1 𝑦 𝑐 > 0 ó − ∞ 𝑠𝑖 𝑟 > 1 𝑦 𝑐 < 0 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑠𝑖 𝑟 < −1 𝑐, 𝑠𝑖 𝑟 = 1 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑠𝑖 𝑟 = −1 SUCESIONES ASINTOTICAMENTE EQUIVALENTES 𝑎𝑛 Dos sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 son asintóticamente equivalentes si y sólo si lim𝑛→∞ = 1. 𝑏𝑛 En este caso se escribe:𝑎𝑛 ~𝑏𝑛 y se tiene: lim 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑏𝑛 C...