Funciones racionales: división, forma k/(x - p) + q y análisis de asíntotas

Apuntes

114 # 4.6 Gráfica de la función $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ ## Problema inicial Sea $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$: 1. Efectúa la división $(x + 1) \div (x - 2)$; escribe $\frac{x + 1}{x - 2}$ en la forma $\frac{k}{x - p} + q$. 2. Traza la gráfica de $f(x)$. ## Solución 1. Utilizando la división sintética se obtiene lo siguiente:  En la división sintética se colocan los coeficientes de los polinomios del dividendo y divisor en lo siguiente forma: | $\alpha$ | Dividendo | | --- | --- | | Cociente | Residuo | Luego, $x + 1 = 1(x - 2) + 3$. Se dividen ambos miembros de esta ecuación por $x - 2$: $$ \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1(x - 2)}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{x - 2} + 1. $$ Por lo tanto, $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2} + 1$. 2. Del numeral anterior, $f(x) = \frac{3}{x - 2} + 1$; entonces la gráfica de $f$ se obtiene desplazando dos unidades horizontalmente y una unidad verticalmente la gráfica de $y = \frac{3}{x}$. Las asíntotas de $f$ son $y = 1$ y $x = 2$.  ## Conclusión Sean $\alpha$, $b$ y $d$ números reales no todos iguales a cero y $c \neq 0$; se le llama función racional a la función de la forma $f(x) = \frac...