Prof. Denise Prado Kronbauer

Apuntes

Prof. Denise Prado Kronbauer denise.kronbauer@univali.br Cálculo II Coordenadas Polares 2 Área de figuras planas em coordenadas polares Queremos encontrar a área A, da figura delimitada pelas retas 𝜃 = α e 𝜃 = β e pela curva 𝑟 = 𝑓 ( 𝜃 ) . Coordenadas Polares 3 Seja 𝑓 uma função contínua e não negativa em [ 𝛼 , 𝛽 ] . Consideremos uma partição P de [ 𝛼 , 𝛽 ] dada por: 𝛼 = 𝜃 0 < 𝜃 1 < 𝜃 2 < ⋯ < 𝜃 𝑖 − 1 < 𝜃 𝑖 < 𝜃 𝑛 = β . Coordenadas Polares 4 Para cada 𝜃 𝑖 − 1 , 𝜃 𝑖 , 𝑖 = 1 , ... , 𝑛 ] , vamos considerar um setor circular de raio 𝑓 𝑝 𝑖 , e ângulo central ∆ 𝜃 𝑖 , onde 𝜃 𝑖 − 1 < 𝑝 𝑖 < 𝜃 𝑖 e ∆ 𝜃 𝑖 < Θ 𝑖 < 𝜃 𝑖 − 1 . Coordenadas Polares 5 Desta forma, a área do i - ésimo setor circular é dada por: 1 2 𝑓 𝑝 𝑖 2 ∆ Θ Pela definição da integral temos que: 𝐴 = 1 2 න 𝛼 𝛽 𝑓 ( 𝜃 ) 2 𝑑 𝜃 Coordenadas Polares 6 Exemplo: Encontrar a área da região 𝑆 , limitada pelo gráfico de: 𝑟 = 3 + 2 sen 𝜃 Coordenadas Polares Resolução: Observando a simetria em relação ao eixo 𝜋 / 2 , podemos escrever: 𝐴 = 2 . 1 2 ׬ − 𝜋 / 2 𝜋 / 2 3 ...