Evaluación de Integrales y Descomposición en Fracciones Parciales

Apuntes

• Subtema: Evaluación de Integrales 1. Al evaluar la integral $\int e^{-x} \cos(e^{-x}) \, dx$, se obtiene: - A. $-\sin(e^{-x}) + C$ - B. $\cos(e^{-x}) + C$ - C. $e^{-x} \cos(e^{-x}) + C$ - D. $-\cos(e^{-x}) + C$ Proceso: \[ \int e^{-x} \cos(e^{-x}) \, dx \] Usando integración por partes: \[ u = \cos(e^{-x}), \quad dv = -e^{-x} \, dx \] \[ du = e^{-x} \sin(e^{-x}) \, dx \] \[ = -e^{-x} \cos(e^{-x}) - \int e^{-x} (e^{-x}) \sin(e^{-x}) \, dx \] 2. Al evaluar la integral $\int \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^2} \, dx$, se obtiene: - A. $e^{-2x} + C$ - B. $\tan^{-1}(e^{x}) + C$ - C. $\tan(e^{x}) + C$ - D. $\tan^{-1}(e^{x}) + C$ Proceso: \[ \int \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^2} \, dx = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \, dx \] Esta es una integral directa de $\tan^{-1}(x)$: \[ \int \frac{du}{1 + u^2} = \tan^{-1}(u) + C \] Resultado: $\tan^{-1}(e^{x}) + C$ 3. Al evaluar la integral $\int x \sin x \, dx$, se obtiene: - A. $\frac{1}{2} \cos x + C$ - B. $-x \cos x + \sin x + C$ - C. $\cos\left(\frac{1}{2} x\right) + C$ - D. $\frac{x^2 \cos(x)}{2} + C$ Proceso: \[ \int x \sin x \, dx = u = x, \quad dv = \sin x \, dx \] \[ v = -\cos x \] \[ = -x \cos x + \int \cos x \, dx \] Resultado: $-x \cos x + \sin x + ...