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Apuntes

``` • Problema 1: Ecuación de Cauchy - Euler Dada la ecuación diferencial: $$4x^2y'' + 17y = 0,$$ con condiciones iniciales $y(1) = -\frac{1}{2}$ y $y'(1) = -\frac{1}{2}$. Supongamos que $y = x^m$. Entonces: $$y' = mx^{m-1},$$ $$y'' = m(m-1)x^{m-2}.$$ Sustituyendo en la ecuación original: $$4x^2m(m-1)x^{m-2} + 17x^m = 0,$$ $$4m(m-1)x^m + 17x^m = 0,$$ $$x^m [4m(m-1) + 17] = 0.$$ Por lo tanto: $$4m(m-1) + 17 = 0,$$ $$4m^2 - 4m + 17 = 0.$$ Resolviendo la ecuación cuadrática: $$m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ $$= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(17)}}{2(4)},$$ $$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 272}}{8},$$ $$m_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-256}}{8},$$ $$m_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{16i}{8},$$ $$m_{1,2} = \frac{1}{2} \pm 2i.$$ Con $\alpha = \frac{1}{2}$ y $\beta = 2$, la solución general es: $$y = x^{\frac{1}{2}} [C_1 \cos(2 \ln(x)) + C_2 \sin(2 \ln(x))].$$ ``` --- ``` • Problema 2: Variación de Parámetros Consideremos la ecuación diferencial: $$y'' - 3y' + 2y = e^x \sin(x).$$ 1) Supongamos $y = Ae^{mx}$, entonces: $$y' = mAe^{mx},$$ $$y'' = m^2Ae^{mx}.$$ Sustituyendo en la ecuación homogénea: $$m^2Ae^{mx} - 3mAe^{mx} + 2Ae^{mx} = 0,$$ $$Ae^{mx}...