2. PARA CADA UNA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SIGUIENTES1 VERIFIQUE QUE LA FUNCI2N O FUNCIONES INDICADAS SON SOLUCIONES.

Apuntes

• Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales a) \( y'' + y = 0 \) Funciones propuestas: \( y_1 = 2 \sin x \), \( y_2 = -5 \cos x \) Primero, calculemos las derivadas: \( y_1 = 2 \sin x \) \( y_1' = 2 \cos x \) \( y_1'' = -2 \sin x \) Sustituyendo en la ecuación: \( y_1'' + y_1 = -2 \sin x + 2 \sin x = 0 \) Por lo tanto, \( y_1 \) es solución. Para \( y_2 = -5 \cos x \): \( y_2' = 5 \sin x \) \( y_2'' = 5 \cos x \) Sustituyendo: \( y_2'' + y_2 = 5 \cos x - 5 \cos x = 0 \) Por lo tanto, \( y_2 \) también es solución. --- b) \( x^2 y'' - 2x y' + 2 y = 0 \) Funciones propuestas: \( y_1 = x \), \( y_2 = x^2 \), \( y_3 = 2x - 3x^2 \) Verificación de \( y_1 = x \): \( y_1' = 1 \) \( y_1'' = 0 \) Sustituyendo: \( x^2 \cdot 0 - 2x \cdot 1 + 2 \cdot x = -2x + 2x = 0 \) Es solución. Verificación de \( y_2 = x^2 \): \( y_2' = 2x \) \( y_2'' = 2 \) Sustituyendo: \( x^2 \cdot 2 - 2x \cdot 2x + 2 \cdot x^2 = 2x^2 - 4x^2 + 2x^2 = 0 \) Es solución. Verificación de \( y_3 = 2x - 3x^2 \): \( y_3' = 2 - 6x \) \( y_3'' = -6 \) Sustituyendo: \( x^2 \cdot (-6) - 2x (2 - 6x) + 2 (2x - 3x^2) \) Calculando: \( -6x^2 - 2x \cdot 2 + 2x ...