Números complejos: definición, representación en el plano y operaciones básicas

Apuntes

NÚMEROS COMPLEJOS Toda ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) Puede resolverse de manera formal dando 𝑥 1 = −𝑏+ 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 2 = −𝑏− 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Si 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ≥ 𝟎 estas fórmulas proporcionan las soluciones Tomemos la ecuación cuadrática 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 Tomemos la ecuación cuadrática 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 Puesto que 𝑥 1 = −1 + −3 2 y 𝑥 2 = −1− −3 2 No existe ningún número real 𝑥 que satisfaga la ecuación polinómica. Pero 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏/𝟐) 𝟐 + 𝟑 𝟒 > 𝟎 para todo 𝑥 Los números reales tienen una gran deficiencia: No toda función polinómica tiene una raíz real Esto es tan grave que los matemáticos han sentido la necesidad de “inventar” un número 𝒊 con la propiedad de que 𝑖 2 + 1 = 0 Para solucionar esta ecuación y otras similares se introduce el conjunto de números complejos. Si 𝑐 es cualquier número positivo −𝑐 = 𝑐(−1) = 𝑐. −1 = 𝑐 𝑖 Entonces estos números 𝑥 1 = −1 + −3 2 y 𝑥 2 = −1− −3 2 Si interpretamos −3 = 3(−1) = 3. −1 = 3 𝑖 son 𝑥 1 = − 1 2 + 3 2 𝑖 y 𝑥 2 = − 1 2 − 3 2 𝑖 Y satisfacen la ecuación polinómica de segundo grado. 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 En la construcción de los números se busca siempre so...