Convergencia de series numéricas: definición, criterios de comparación y series alternantes

Apuntes

``` • Subtema: Serie Infinita Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita de términos: $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots$$ Donde $a_n$ es el término general de la serie. Por ejemplo, si $a_n = \frac{1}{n}$, entonces $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots$$ • Subtema: Serie de Suma Parcial La serie de suma parcial ($S_n$) es la suma de los $N$ primeros términos de la serie: $$S_n = \sum_{n=1}^{N} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_N$$ • Subtema: Convergencia y Divergencia El valor de la serie infinita se define como el límite de la suma parcial: $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} S_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n$$ • Convergencia: Una serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge si el límite de $S_n$ existe y es finito: $$\lim_{N \to \infty} S_n = s \ ; \ s \in \mathbb{R}$$ • Divergencia: Si el $\lim_{N \to \infty} S_n$ no existe o es igual a $\pm \infty$, la serie diverge. Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen, entonces: $$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n$$ Si $c \in \mathbb{R}$: $$\sum_{n=1}^{\i...