Conceitos introdutórios: definição de derivada, tangente e taxas de variação

Apuntes

Derivadas Prof a Thais Presses Mendes Prof a Andreza C. Beezão Moreira Universidade Federal de Lavras Departamento de Matemática e Matemática Aplicada 22 de abril de 2026 1. Introdução Introdução Neste tópico estudaremos a derivada e suas aplicações. Veremos inicialmente aplicações no sentido geométrico e a formalização do conceito. Apresentaremos também as técnicas de derivação, bem como propriedades que nos auxiliarão no desenvolvimento de aplicações como Taxas relacionadas e Otimização. 1. Derivadas Problemas motivadores Sejam y = f (x) uma curva definida no intervalo (a, b), P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos desta curva y = f (x) e s a reta secante que passa por P e Q. Considerando o triângulo retângulo P M Q na figura abaixo, temos que a inclinação da reta s (seu coeficiente angular) é m = y2 − y1 x2 − x1 = ∆ y ∆x . 1. Derivadas Problemas motivadores Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P . Notemos que a inclinação da secante varia à medida que Q varia. No limite onde Q tende a P vemos que a reta secante passa a tocar a curva y = f (x) apenas no ponto P , isto é, a reta secante s passa a ser tangente à curva y = f (x) no ponto ...