123

Apuntes

22:22 • Subtema: Càlcul de l'equació del pla a) Calculeu l'equació general del pla $\pi$ que passa pel punt $(8,8,8)$ i té vectors directors $\mathbf{u} = (1,2,-3)$ i $\mathbf{v} = (-1,0,3)$. [1.25 punts] • Subtema: Determinació del paràmetre i equació de la recta b) Determineu el valor del paràmetre $a$ perquè el punt $(1,-5,a)$ pertanyi al pla $\pi$ i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla $\pi$. [1.25 punts] Resolució: a) L'equació general del pla és: $$ \begin{vmatrix} x-8 & 1 & -1 \\ y-8 & 2 & 0 \\ z-8 & -3 & 3 \\ \end{vmatrix} = 0 \rightarrow 6x + 2z = 64 \rightarrow [3x + z = 32] $$ Observació: Naturalment, també es donarà per bona la construcció de l'equació del pla a partir del vector normal del pla calculat com el producte vectorial dels dos vectors directors, o equivalent. b) Perquè el punt $(1,-5,a)$ sigui del pla, ha de satisfer l'equació, per tant: $$3 + a = 32 \rightarrow [a = 29]$$ Ens demanen la recta que passa pel punt $(1,-5,29)$ i té vector director el vector normal al pla, que és $(A,B,C) = (3,0,1)$. Així, l'equació paramètrica de la recta demanada és: $$ \begin{align*} x &= 1 + 3t \\ y &= -5 \...