Ejercicio 8. a1 Verificar que los vectores de R23 del tipo 4a5 b6 y 7b8 -a910 son ortogonales.

Apuntes

**Ejercicio 8** **a) Verificación de ortogonalidad de vectores en \( \mathbb{R}^2 \)** Se nos pide verificar que los vectores del tipo \( (a, b) \) y \( (b, -a) \) son ortogonales. Para ello, calculamos su producto punto: \[ (a, b) \cdot (b, -a) = a \times b + b \times (-a) = ab - ab = 0 \] Dado que el producto punto es cero, los vectores son ortogonales. --- **b) Cómo encontrar un vector \( \mathbf{B} \) ortogonal a un vector \( \mathbf{A} = (a, b, c) \) en \( \mathbb{R}^3 \)** Para encontrar un vector \( \mathbf{B} = (x, y, z) \) ortogonal a \( \mathbf{A} \), debemos cumplir la condición: \[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = a x + b y + c z = 0 \] Esta es una ecuación lineal con infinitas soluciones. Para encontrar un ejemplo concreto, podemos asignar valores arbitrarios a dos de las variables y resolver para la tercera. Por ejemplo: - Si elegimos \( y = 0 \) y \( z = 1 \), entonces: \[ a x + c \times 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{c}{a} \quad \text{(si } a \neq 0) \] - Si \( a = 0 \), podemos elegir \( x = 1 \), \( z = 0 \), y resolver para \( y \): \[ b y = 0 \Rightarrow y = 0 \] De esta forma, podemos construir un vector \( \mathbf{B} \) ortogonal a \( \mathbf{A} \). ...