Números reales: racionalidad, desigualdades y problemas con raíces y potencias

Apuntes

Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que √ 2 no es racional. 3. Sabiendo que a + b > c + d, a > b, c > d; ¿se verifica necesariamente alguna de las desigualdades: a > c, a > d, b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso. 4. Sea x un número real. Estudia si cada una de las desigualdades x 2 < x y x 3 < x2 es consecuencia de la otra. 5. Calcula para qué valores de x se verifican las desigualdades siguientes. i) 2x − 3 x + 2 < 1 3 ii) 1 x + 1 1 − x > 0 iii) x 2 − 5x + 9 > x iv) x 3 (x − 2)(x + 3)2 < 0 v) x 2 − (a + b)x + ab < 0 vi) 3(x − a)a 2 < x3 − a 3 < 3(x − a)x 2 6. Prueba las siguientes desigualdades: a) 0 < x + y − x y < 1 siempre que 0 < x < 1, 0 < y < 1. b) 1 x + 1 a + b − x < 1 a + 1 b siempre que 0 < a < x < b. 7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivos a > 0 y b > 0 se verifica que a 2(a + b) √ b < 1 √ b − 1 √ a + b