Examen Par

Apuntes

Examen Parcial (A) — Soluciones Cálculo I (Grupo M11) Grado en Ingeniería en Sistemas Industriales (UEM) Nombre: Federico Massieu Hoyos Nº de expediente: 22511225 Las respuestas se presentan con procedimiento paso a paso. Los resultados finales están resaltados. • Cohete vertical — derivadas relacionadas Se lanza un cohete con altura h(t) = 10 t² (m). Estás a 1 km del lanzamiento, formando un ángulo θ con la horizontal. En el triángulo de observación, se cumple: tan θ = h/1000 = (10 t²)/1000 = t²/100. Derivando respecto a t y usando derivadas relacionadas: sec²θ · (dθ/dt) = d/dt (t²/100) = (2t)/100 = t/50. Luego, dθ/dt = (t/50) · cos²θ. En t = 10 s, se tiene: tan θ = 10²/100 = 1 ⇒ θ = π/4 y cos²θ = 1/2. Por tanto, dθ/dt = (10/50) · (1/2) = 0.1 rad/s. Resultado final: dθ/dt = 0.1 rad/s en t = 10 s. • Aproximación de orden 1: f(x) ≈ constante cerca de x = 0 La función es f(x) = e^{-x} √(1 + c x). Para que sea aproximadamente constante a orden 1 cerca de 0, imponemos f′(0) = 0. Trabajamos con g(x) = ln f(x): g(x) = −x + (1/2) ln(1 + c x) ⇒ g′(x) = −1 + (1/2)· c/(1 + c x). En x = 0: g′(0) = −1 + c/2. Para que f sea “constante a primer orden”, g′(...