Sejam 3 1 23-1.0.245 60.2.078 90.0.11011 e 12 13 14150.0.11617 180.-2.11920 211.0.-12223 duas bases do R3.

Apuntes

Sejam \( \mathcal{3} = \{(-1, 0, 2), (0, 2, 0), (0, 0, 1)\} \) e \( \alpha = \{(0, 0, 1), (0, -2, 1), (1, 0, -1)\} \) duas bases de \( \mathbb{R}^3 \). --- **a) (1,5 pt) Determine \( |\ [\alpha]_a | \).** Solução: \( |\ [\alpha]_a | = | U | \), onde \[ | [\alpha]_a | = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \] e as colunas representam as coordenadas de cada vetor de \( \mathcal{3} \) em relação à base \( \alpha \). Dado que: \[ (-1, 0, 2) = a_1 (0, 0, 1) + b_1 (0, -2, 1) + c_1 (1, 0, -1) \] \[ (0, 2, 0) = a_2 (0, 0, 1) + b_2 (0, -2, 1) + c_2 (1, 0, -1) \] \[ (0, 0, 1) = a_3 (0, 0, 1) + b_3 (0, -2, 1) + c_3 (1, 0, -1) \] Resolvendo os sistemas, obtemos: \[ a_1 = 1, \quad b_1 = 0, \quad c_1 = -1 \] \[ a_2 = 1, \quad b_2 = -1, \quad c_2 = 0 \] \[ a_3 = 1, \quad b_3 = 1, \quad c_3 = 0 \] Logo, a matriz das coordenadas fica: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] O determinante dessa matriz é: \[ | [\alpha]_a | = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] Calculando: \[ = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - 1 \cdot \det \begin{bmatrix...