Antiderivación y Reglas de Integración

Apuntes

Facultad de Matemáticas e Ingenierías Cálculo II Dr. Óscar Leonardo Pantano-Mogollón 2026 ANTIDERIVACIÓN Propósito: Determinar la antiderivada general de algunas funciones. Ejercicio: Determinar una función 𝐹(𝑥) cuya derivada es 𝑓(𝑥): a 𝑓(𝑥) = 4𝑥 ! 𝐹(𝑥) = 𝑥 " b 𝑓(𝑥) = − 2 5 𝐹(𝑥) = − 2 5 𝑥 c 𝑓(𝑥) = 3𝑥 " 𝐹(𝑥) = 3𝑥 # 5 d 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| e 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 $ 1 𝐹(𝑥) = − 1 𝑥 f 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 𝐹(𝑥) = sin(𝑥) Describir la estrategia o el método utilizado para determinar 𝑭(𝒙) DEFINICIÓN: Una función 𝐹(𝑥) es una antiderivada o primitiva de 𝑓(𝑥) sobre un intervalo 𝐼 si 𝐹 % (𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 que pertenece a 𝐼. 𝒅 𝒅𝒙 [𝑭(𝒙)] = 𝒇(𝒙) Ejemplo: 𝐹( 𝑥 ) = − cos (𝑥) es 𝐮𝐧𝐚 𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 de 𝑓( 𝑥 ) = sin (𝑥) porque 𝐹 % (𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 [− cos(𝑥)] = −(− sin(𝑥)) = sin(𝑥) = 𝑓(𝑥) Ejemplo: Para la siguiente derivada determinar al menos cuatro antiderivadas. 𝑓(𝑥) = 9𝑥 $ 1 Propiedad de la potenciación: potencias de exponente negativo 𝑎 "# = $ % ! 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ! − 1 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ! + 8 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ! − 1 4 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ! + 𝜋 TEOREMA: Si 𝐹(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥) sobre un intervalo 𝐼, entonces la antiderivada más...