Subespaços e geradores em R^3: definição, descrições e condições

Apuntes

1. Em $\mathbb{R}^3$, considere os vetores $u = (1, 3, 1)$, $v = (1, 1, 0)$ e o subespaço $S = G(\{u, v\})$ gerado por $u$ e $v$. (a) (0,7 val.) Escreva $(-5, -1, 2)$ como combinação linear de $u$ e de $v$. (b) (0,7 val.) Descreva $S$ na forma $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : \ldots \}$. (c) (0,7 val.) Determine os valores reais de $a$ tais que o vetor $(a^2, 2a - 1, a - 1)$ é combinação linear de $u$ e de $v$. (d) (0,7 val.) Das seguintes afirmações, apenas uma é verdadeira. Identifique-a e justifique porque é verdadeira. (d.i) $\mathbb{R}^3 = G(\{u, v, w\})$ qualquer que seja $w \in \mathbb{R}^3$. (d.ii) $\mathbb{R}^3 = S + G(\{w\})$ qualquer que seja $w \in \mathbb{R}^3$. (d.iii) $\mathbb{R}^3 = G(\{u, v, w\})$ se e só se $w \in S$. (d.iv) $\mathbb{R}^3 = G(\{u, w\})$ se e só se $w \not\in S$. (e) (0,7 val.) Dos seguintes subconjuntos de $\mathbb{R}^3$, apenas um é subespaço de $\mathbb{R}^3$. Identifique-o e justifique porque é subespaço. $C_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z \neq 1\}$, $C_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\}$, $C_3 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 = 0\}$, $C_4 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : xy = 0\}$. 2. (a) (0,7 val.) ...