Límites, continuidad y álgebra de límites: definiciones, propiedades y ejemplos

Apuntes

ING1002 - Cálculo Diferencial e Integral Anton Svensson Escuela de Ingeniería 8 de abril 2026 Cálculo de límites 1/8 Sea¯ x ∈acc(dom f). Decimos que L es el límite de f(x) cuando x tiende a¯ x y escribimos L = lim x→¯ x f(x), si (∀ε>0) (∃δ>0) tal que 0 <|x− ¯ x|<δ∧x ∈dom(f) ⇒|f(x)−L|<ε. En caso que no se cumpla lo anterior para ningún L ∈R decimos que el límite de f cuando x tiende a¯ x no existe. 2/8 Ejercicio: Pruebe las siguientes aseveraciones 1. lim x→1 2x + 1= 3 1 1 2. lim x→3 = 3. lim x→1 x x2 3 = 1 Observamos en los ejemplos anteriores que es lo mismo el límite que la evaluación en el punto. En estos casos decimos que la función es continua en el punto. 3/8 Límites básicos y álgebra de límites •limx→¯ x c = c •limx→¯ x x = ¯ x Proposición: Álgebra de límites Sean f,g : A ⊂ R → R funciones y¯ x un punto de acumulación de A. Si lim f(x) = L y lim g(x) = M entonces los siguientes límites existen y cumplen x→¯ x x→¯ x lim x→¯ x cf(x) = c lim x→¯ x f(x), para c ∈R lim x→¯ x f(x) + g(x) = L + M lim x→¯ x f(x)·g(x) = L·M. Además si M ̸= 0 f(x) L lim x→¯ x = g(x) M. 4/8 Límites para polinomios y funciones racionales Para un polinomio p(x) = a0 + a1x +...+ anxn se cumple lim x→¯ x p...