Ejemplo 9

Apuntes

• Subtema: Encontrar una base ortogonal para H Sea H el subespacio de \(\mathbb{R}^4\) que tiene como base las columnas de la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Primero, identificamos las columnas de \(A\): \[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Para hallar una base ortogonal de \(H\), aplicamos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a estas columnas. **Paso 1: Tomamos \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1\)** \[ \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calculamos \(\mathbf{u}_2\)** ortogonalizando \(\mathbf{v}_2\) respecto a \(\mathbf{u}_1\): \[ \text{Proyección de } \mathbf{v}_2 \text{ sobre } \mathbf{u}_1: \quad \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) = \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1 \] Calculamos los productos escalares: \[ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 + 0 = 0 \] \[ \mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1 = 1^...