UNIDAD 3.

Apuntes

**UNIDAD 3: Aplicaciones de la integral** --- **Subtema: Longitud de arco y área superficial** La distancia entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) en un plano se calcula con la fórmula: \[ D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] También puede expresarse en términos de diferencias finitas: \[ D = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \] Dividiendo por \(\Delta x\): \[ D = \sqrt{\frac{\Delta x^2 + \Delta y^2}{\Delta x^2}} \] \[ D = \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \] En el límite, cuando \(\Delta x \to 0\): \[ D = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Esta expresión define la longitud de arco de una curva \( y = f(x) \): \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} \, dx \] De manera similar, si la curva está parametrizada en función de \( y \): \[ L = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dy \] --- **Longitud de arco:** \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} \, dx \] o en función de \( y \): \[ L = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + \left(f'(y)\right)^2} \, dy \] Donde \(f'\) representa la derivada de la función. --- **Área superficial de un sólido de revolución:** Para un radio \( r ...