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Apuntes

Álgebra y Geometría Analítica NOTAS DE CÁTEDRA Y GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS 2025 1 Unidad N°3 | Rectas y Planos UNIDAD N°3 RECTAS Y PLANOS 1. RECTAS EN ℝ 𝟑 1.1. Ecuación vectorial de una recta Una recta 𝑟 queda perfectamente definida conociendo su dirección y un punto de esta. La ecuación vectorial de la recta 𝑟 que pasa por un punto 𝑃 0 ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ) y es paralela al vector director 𝑣⃗ = ( 𝑣 1 ; 𝑣 2 ; 𝑣 3 ) con 𝑣⃗ ≠ 𝟎 ⃗⃗⃗ es: 𝑟: ( 𝑥; 𝑦; 𝑧 ) = ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ) + 𝝀 ( 𝑣 1 ; 𝑣 2 ; 𝑣 3 ) con 𝝀 ∈ ℝ Note que esta ecuación contiene tres igualdades simultáneamente. 1.2. Ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta Desglosando las tres ecuaciones lineales involucradas en la ecuación vectorial, se define la misma recta 𝑟 mediante el sistema de ecuaciones: 𝑟: { 𝑥 = 𝑥 0 + 𝝀𝑣 1 𝑦 = 𝑦 0 + 𝝀𝑣 2 𝑧 = 𝑧 0 + 𝝀𝑣 3 con 𝝀 ∈ ℝ 1.3. Ecuaciones simétricas de la recta Si ninguna componente del vector director 𝑣⃗ es nula, entonces se puede despejar 𝝀 de las tres ecuaciones cartesianas y definir la misma recta 𝑟 mediante las ecuaciones simétricas: 𝑟: 𝑥 − 𝑥 0 𝑣 1 = 𝑦 − 𝑦 0 𝑣 2 = 𝑧 − 𝑧 0 𝑣 3 Si alguna componente del vector director es nula, por ej...