Unidad 1 Integrales M1ltiples 1.11 Funciones no continuas sobre conjuntos acotados

Apuntes

Unidad 1 Integrales Múltiples 1.11 Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Integrales impropias (funciones no continuas sobre conjuntos acotados) Ejemplo Considere la función f ( x, y ) = xy x 2 + y 2 En este caso si nos acercamos a cero por la recta x = 0 f (0 , y ) = 0 por lo que l ́ ım ( x,y ) → (0 , 0) f (0 , y ) = 0 Por otro lado si nos acercamos a cero por la recta y = x se tiene f ( x, x ) = x 2 2 x 2 = 1 2 por lo que l ́ ım ( x,y ) → (0 , 0) f ( x, x ) = 1 2 de manera que esta función no es continua en cero. Sin embargo ∫ 1 0 ∫ 1 0 xy x 2 + y 2 dx dy = 1 2 ln(2) Dado que las integrales dobles fueron denidas para funciones continuas, lo que haremos es restringir el dominio de la función a una región R' en la cual la función sea continua y sin problema podamos calcular ∫ R ′ f Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 1 Integrales Múltiples 1.11 Funciones no continuas sobre conjuntos acotados En este caso podemos denir R ′ = [ , 1] × [ , 1] y en R ′ f si es continua por lo que ∫ R ′ f = ∫ 1  ∫ 1  xy x 2 + y 2 dx dy = ∫ 1  ( − 1 2 ln(  2 + y 2 ) y + ...