Teorema y Propiedades de

Apuntes

• Teorema y Propiedades de la Radicación **1. Definición:** \(\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow a = b^n, \forall a \in R, n \in Z^+\). *Ejemplo:* \(\sqrt[3]{8} = 2 \Leftrightarrow -8 = (-2)^3\). **2. Raíz de un Producto:** \(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \forall a, b \in R\). *Ejemplo:* \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2}\). **3. Raíz de un Cociente:** \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \forall a, b \in R, b \neq 0\). *Ejemplo:* \(\sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3}\). **4. Raíz de Raíz:** \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a}, \forall a \in R, m, n \in Z^+\). *Ejemplo:* \(\sqrt[81]{\sqrt[9]{81}} = \sqrt[81]{81^{1/9}} = 81^{(1/9) \cdot (1/81)} = 81^{1/729}\). *(Nota: La expresión original tiene un ejemplo incorrecto; la corrección es que la raíz de raíz equivale a una raíz con exponente multiplicado.)* **5. Propiedad:** \(\sqrt[m]{a^n b^p c^q} = \sqrt[m]{a^n} \cdot \sqrt[m]{b^p} \cdot \sqrt[m]{c^q}\). *Ejemplo:* \(\sqrt[4]{16^3 \sqrt{7}} = \sqrt[4]{16^3} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{7}} = 4 \cdot \sqrt[4]{7}\). **6. Propiedad:** \(\sqrt[x]{\frac{a...