Área bajo la curva y región entre dos funciones: definición, teorema fundamental y ejemplos de cálculo

Apuntes

Meta 2.1: Resolver problemas geométricos, a través de la integración definida, para el cálculo de áreas. Ejercicios Región bajo la curva Es conveniente recordar que para calcular el área bajo una curva es adecuado el uso de la integral definida, cuya definición dice que si 𝑓 es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces el área de la región limitada (ver figura) por 𝑓, el eje 𝑥 y las líneas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 viene dada por á𝑟𝑒𝑎 = ׬𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Con esta definición y el primer teorema fundamental del cálculo el problema del área bajo la curva es relativamente sencillo de resolver. Calcular el área bajo la curva 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 y sobre el eje 𝑥 𝑨 = න −1 3 −𝒙2 + 2𝒙 + 3 𝒅𝒙 = ฬ− 1 3 𝒙3 + 𝒙2 + 3𝒙 3 −1 𝑭 3 = − 1 3 3 3 + 3 2 + 3 3 = −9 + 9 + 9 = 9 𝑭 −1 = − 1 3 −1 3 + −1 2 + 3 −1 = 1 3 + 1 − 3 = − 5 3 𝑭 3 − 𝑭 −1 = 9 − − 5 3 = 32 3 𝒖2 Calcular el área bajo la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 y sobre el eje 𝑥 Primero se determina la función, se sabe que es de la forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑏 El vértice es el punto 𝑐, 𝑏 . En consecuencia, el vértice es −1,8 Al sustituir se tiene que 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 1 2 + 8 Se considera algún punto de la curva para deter...