Derivadas de la log-verosimilitud para una distribución normal

Apuntes

Suponga que tiene la función de densidad de una distribución normal: \[ f(x_i) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2}} \] El objetivo es encontrar las derivadas parciales de la log-verosimilitud \( L \) respecto a \( \mu \) y a \( \sigma^2 \), donde \[ L = \prod_{i=1}^n f(x_i) \] \[ \ln f(x_i) = \ln \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2}} \right) \] \[ \ln f(x_i) = -\ln \sigma - \frac{1}{2} \ln (2\pi) - \frac{(x_i - \mu)^2}{2} \] 1. La derivada de \( \ln L \) respecto a \( \mu \): \[ \frac{\partial \ln L}{\partial \mu} = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) \] 2. La derivada de \( \ln L \) respecto a \( \sigma^2 \): \[ \frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \] Este repaso muestra cómo derivar la log-verosimilitud en el contexto de una distribución normal, facilitando la estimación de los parámetros \( \mu \) y \( \sigma^2 \).