Eletrmagnctismo Cl1ssico I

Apuntes

Eletrmagnetismo Clássico I 1ª Lista de Problemas - Prof. Marcelo Lima • Subtema: Campos escalares e vetoriais dependentes da posição Seja, em particular, um campo escalar que depende somente da distância à origem. Isto é, \( \varphi(r) = \varphi(r) \). O mesmo vale para um campo vetorial, ou seja, \( \vec{F}(r) = \vec{F}(r) \). Mostre então que: \[ \nabla \cdot \vec{F}(r) = \frac{\vec{r}}{r} \frac{d\varphi}{dr} \] e que: \[ \nabla \times \vec{F}(r) = \frac{\vec{r}}{r} \times \frac{d\vec{F}}{dr} \] • Subtema: Regras de Leibniz para operadores diferenciais Demonstre as regras de Leibniz (lembrando que há outras mais): \[ \nabla \cdot (\mathbf{u} \mathbf{F}) = (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{F} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{F} \] e \[ \nabla \times (\mathbf{u} \times \mathbf{F}) = (\nabla \cdot \mathbf{F}) \mathbf{u} + \mathbf{u} \times \nabla \mathbf{F} \] • Subtema: Derivadas de funções de variáveis relativas Sejam \( r = (x, y, z) \) e \( r' = (x', y', z') \) os vetores posição de dois pontos distintos, e seja \( \vec{R} = r - r' \) o vetor posição relativa. Mostre que: \[ \nabla \left(\frac{1}{R}\right) = -\nabla' \left(\frac{1}{R}\right) = -\frac{...