Tema 31 Espacio Vectorial

Apuntes

Tema 3: Espacio Vectorial ° Jose Lope Alba UAM-ADE 6 de octubre de 2025 Jos ́e Lope Alba (UAM-ADE) Tema 3: Espacio Vectorial 6 de octubre de 2025 1 / 74 Contenido 1 Espacio vectorial 2 Subespacios vectoriales 3 Sistema de generadores 4 Base y dimensi ́ on 5 El espacio R n Jos ́e Lope Alba (UAM-ADE) Tema 3: Espacio Vectorial 6 de octubre de 2025 2 / 74 Definici ́ on formal de espacio vectorial Sea V un conjunto no vac ́ıo y K un cuerpo (por ejemplo R o C). Decimos que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre K si: Existe una operaci ́ on + : V × V → V (suma de vectores). Existe una operaci ́ on · : K × V → V (multiplicaci ́ on por escalares). Estas operaciones cumplen los 8 axiomas fundamentales. Jos ́e Lope Alba (UAM-ADE) Tema 3: Espacio Vectorial 6 de octubre de 2025 3 / 74 Axiomas completos de un espacio vectorial Para todo u, v , w ∈ V y a, b ∈ K: 1 (u + v ) + w = u + (v + w ) (asociatividad de la suma). 2 u + v = v + u (conmutatividad de la suma). 3 Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u (elemento neutro). 4 Para todo u ∈ V , existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0. 5 a(u + v ) = au + av . 6 (a + b)u = au + bu. 7 (ab)u = a(bu). 8 1 · u = u, con 1 el neutro multiplicativo de K. Jos ́e Lop...