S 1 22 3 4x567819210 11 1213144x15116174x18 dx

Apuntes

• Cálculo de la superficie de revolución alrededor del eje x S = 2π ∫ (x²)^(1/2) * √((4x+1)/4x) dx = 2π ∫ (1/4) * √(4x+1) dx = (π/2) ∫ √(4x+1) dx Aquí, se simplifica la integral para facilitar su cálculo, eliminando el factor constante y expresando la integral en términos de la raíz cuadrada de una expresión lineal. • Gira alrededor del eje y S = 2π ∫_a^b x √(1 + [f'(x)]²) dx Para la función y = √x, donde x ≥ 0, la derivada es y' = 1/(2√x) = 1/(2x^{1/2}). Entonces, dy = (1/2) x^{-1/2} dx. El elemento diferencial de la superficie se expresa como: S = 2π y dx = 2π √x * dx Al integrar en los límites correspondientes, se obtiene: S = 2π ∫ √x dx = 2π * (2/3) x^{3/2} + C Evaluando en los límites de integración, por ejemplo, de x = 1 a x = 4: S = (4π/3) [ (4)^{3/2} - (1)^{3/2} ] = (4π/3) (8 - 1) = (4π/3) * 7 = 28π/3 Nota: Se recuerda que √x * √x = x, y que (x^{1/2})^2 = x. • Cálculo del volumen de revolución alrededor del eje y "b" (posible referencia a la función y = √x) V = π ∫_1^4 (√x)^2 dx = π ∫_1^4 x dx = π [ x^2/2 ]_1^4 = π (16/2 - 1/2) = π (8 - 0.5) = 15.5π = 31π/2 Otra expresión similar: "b" (posible error en la transcripción) V = π ∫_1^4 (√x)^2 dx = π ∫_1^...