Derivadas y conceptos fundamentales: tangentes, regla del producto, derivadas de funciones comunes y asintotas horizontales

Apuntes

• Subtema: Ecuación de la Tangente La ecuación de la tangente a una curva en un punto se puede expresar como: \[ m = f'(a) \] Donde \( m \) es la pendiente de la tangente, y el punto de tangencia es \((a, f(a))\). La ecuación de la tangente es: \[ y - f(a) = m(x - a) \] O de forma equivalente: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] • Subtema: Regla del Producto La derivada de un producto de dos funciones se calcula usando la regla del producto: \[ y' = U'v + Uv' \] Donde \( U \) y \( v \) son funciones de \( x \). • Subtema: Derivadas de Funciones Comunes Para la función identidad: \[ f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1 \] Para una función constante: \[ f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0 \] • Subtema: Asintotas Horizontales Para determinar las asintotas horizontales, se analiza el comportamiento de la función cuando \( x \) tiende a infinito. Por ejemplo: \[ f(x) = \frac{x \cdot x}{x} \] \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x + x}{x} \] Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, como en: \[ \frac{x^2 + x}{x} \] La asintota horizontal no existe. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, como en: \[ \frac{x + 2}{x^2 + 3} \] La asintota horizontal es \( y = 0 \).