Fundamentos de Cálculo de Integrales: Regla de Barrow y Integración por Partes

Apuntes

Cálculo de Integrales 102 6 CÁLCULO DE INTEGRALES 6.1 REGLA DE BARROW Teorema 6.1: Regla de Barrow Si   R[a,b] y  es una primitiva de  en [a,b] entonces: b a f = (b) – (a) Demostración: Sea P = {a = xo , x1, x2, . . . , xn-1, xn = b } una partición de [a,b] (b) - (a) = (x1) – (x0) + (x2) – (x1) + · · · + (xn) - (xn-1) =  = − n 1k 1-kk )()( xx   Como  es la primitiva de  en [a,b],  ’ en [a,b] entonces, por el teorema de valor medio visto en el tema 3: (xk) - (xk-1) = ’(ck) (xk - xk-1) donde ck  (xk-1,xk) . Por lo tanto: (b) – (a) == −− n 1k 1kkk ))(( xxc  con ck  (xk-1,xk)  k = 1, 2, · · · , n Dado que  es una primitiva de  en [a,b] se verifica que ’ =  . Así que obtenemos: ’(ck) =(ck)  k = 1 , 2, · · · , n (b) – (a) == −− n 1k 1kkk ))(( xxcf ==  n 1k kk )( xcf Ahora bien: mk  (ck)  Mk  k = 1, 2 , · · · , n mk xk  (ck) xk  Mk xk  k = 1, 2 , · · · , n=  n 1k kkm x =  n 1k k )( kxcf =  n 1k kkM x s(P,)  (b) – (a)  S(P,)  P de I j  (b) – (a)  J Cálculo de Integrales103 Y considerando que   R[a,b]  (b) – (a) = j = J = b a f . Nota: En ocasiones, la hipótesis de la regla de Barrow se plantea para funciones...