1 EL TEOREMA DE LA FUNCI 1 ON INVERSA

Apuntes

1 EL TEOREMA DE LA FUNCI ́ ON INVERSA 1. El teorema de la funci ́ on inversa Teorema 1.1 (Teorema de la funci ́ on inversa) . Sea f : Ω ⊂ R n → R n una funci ́ on de clase C r (Ω) , donde r es un entero positivo. Sea x 0 ∈ R n tal que Df ( x 0 ) es invertible. Entonces existen conjuntos abiertos U, V ⊂ R n , con x 0 ∈ U, tales que la restricci ́ on de f a U es una aplicaci ́ on biyectiva sobre V y, por tanto, f : U → V es invertible. Adem ́ as, la funci ́ on inversa f − 1 : V → U es de clase C r y, para cualquier y ∈ V se tiene que Df − 1 ( y ) = [ Df ( x )] − 1 , donde x = f − 1 ( y ) . Demostraci ́ on. Sea y 0 = f ( x 0 ) . Por simplicidad de notaci ́ on, asumiremos que Df ( x 0 ) = I, la aplicaci ́ on identidad en R n . Para el caso general, bastar ́ ıa considerar la aplicaci ́ on F, definida por F ( x ) = [ Df ( x 0 )] − 1 f ( x ) , que s ́ ı tiene por diferencial a I. 1) Para cada y ∈ R n definamos φ y : Ω → R n por φ y ( x ) = x − f ( x ) + y . Para cualquier y se tiene que φ y ( x ) = x si y solo si ...