Técnicas de Integración y Aplicaciones (Cálculo II)

Apuntes

Integrales básicas / inmediatas / directas Calcula las siguientes integrales indefinidas: ∫ (3x⁴ - 5x² + 7) dx ∫ (4/x + 2√x - 1/x³) dx ∫ (e^{2x} + 3^x) dx ∫ (sin(5x) + cos(3x)) dx ∫ sec²(x) dx y ∫ csc²(x) dx Solución rápida de la 1: ∫ 3x⁴ dx = 3·(x⁵/5) = (3/5)x⁵ ∫ -5x² dx = -5·(x³/3) = -(5/3)x³ ∫ 7 dx = 7x → (3/5)x⁵ - (5/3)x³ + 7x + C 2. Sustitución (u-substitution) ∫ x √(x² + 4) dx ∫ (2x + 1) e^{x² + x} dx ∫ sin³(x) cos(x) dx ∫ x / (x² + 3)² dx ∫ dx / (√x + x) Ejemplo resuelto (el 1): u = x² + 4 → du = 2x dx → (1/2) du = x dx ∫ x √(x² + 4) dx = (1/2) ∫ √u du = (1/2)·(2/3) u^{3/2} + C = (1/3) (x² + 4)^{3/2} + C 3. Integración por partes ∫ x e^x dx ∫ x² ln(x) dx ∫ arcsin(x) dx ∫ x³ cos(x) dx ∫ ln(x) dx Ejemplo resuelto (el 1 – clásico): u = x, dv = e^x dx → du = dx, v = e^x ∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C 4. Integrales trigonométricas ∫ sin⁵(x) dx ∫ cos⁴(x) dx ∫ tan³(x) sec(x) dx ∫ sec³(x) dx (usa reducción o partes) ∫ sin(x) cos(x) dx (dos formas: sustitución o identidad) Ejemplo resuelto (el 1): sin⁵(x) = sin⁴(x) sin(x) = (1 - cos²(x))² sin(x) u = cos(x), du = -sin(x) dx = - ∫ (1 - u²)² du = - ∫ (1 - 2u² + u⁴) du = - (u - (2/3)u³ + (1/5)u⁵) + C = ...