UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL

Apuntes

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOG ́ IA DEPARTAMENTO DE MATEM ́ ATICA EJERCICIOS RESUELTOS DE ESPACIO VECTORIAL Profesor: Dennys Ramos Barquisimeto, enero 2023 1. Determine si W = { A ∈ M n × n : A es una matriz sim ́ etrica } es un subespacio vectorial de M n × n , en caso contrario de un contraejemplo. Soluci ́ on: (i) Como Θ t n × n = Θ n × n , entonces Θ n × n ∈ W . (ii) Sean A, B ∈ W , entonces A t = A y B t = B , entonces ( A + B ) t = A t + B t = A + B por tanto, A + B ∈ W . (iii) Sean r ∈ R y A ∈ W , enonces A t = A , luego ( rA ) t = rA t = rA luego, rA ∈ W . Por tanto, por teorema tenemos que W es un subespacio vectorial de M n × n . 2. Determine si W = { ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) : 3 x 1 − x 3 = 2 x 2 − 3 x 4 = 0 } es un subespacio vectorial de R 4 , en caso contrario de un contraejemplo. Soluci ́ on: ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ W ⇔ { 3 x 1 − x 3 = 0 2 x 2 − 3 x 4 = 0 Luego, W es el conjunto soluci ́ on de un sistema lineal homogeneo, por teorema W es un subespacio vectorial de R 4 . 3. De...