L1mite

Apuntes

• Subtema: Límites de funciones Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = 2x \). Mostramos algunos teoremas sobre los límites. Podemos tomar \( \epsilon > 0 \). Si \( |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \). Esto se expresa como: \[ \forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 : \, |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon. \] La forma reducida de esto es: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4. \] También tenemos: \[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}. \] Es importante considerar que podemos acercarnos a \( 2 \) por la izquierda, pero no por la derecha. • Subtema: Definición de límite Sea \( f \) la función definida en algún intervalo abierto que contiene al número \( a \), excepto posiblemente en el mismo \( a \). Entonces decimos que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( a \) es \( L \): \[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \] Esto se expresa como: \[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon. \] El entorno reducido de centro \( a \) y radio \( \epsilon \) se denota como: \[ \text{E}(L, \epsilon) = \begin{cases} \epsilon\\ \epsilon \end{cases} \] Podemos considerar los ...