Fundamentos de Vectores: operaciones, productos y ángulos

Apuntes

``` 90 Geometria analítica $\vec{w} \times (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v} = 27\vec{i} - (3\vec{i} - 3\vec{k}) + 27(\vec{i} - \vec{j})$ $\vec{w} \times (\vec{u} \times \vec{v}) = -3\vec{i} + 3\vec{j} + 6\vec{k} = 54\vec{i} - 27\vec{j} = 51\vec{i} - 25\vec{j} + 6\vec{k}$ Comparando $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{w} \times (\vec{u} \times \vec{v})$, verifica-se que $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{w} \times (\vec{u} \times \vec{v})$ 3.16 Problemas Propostos 1) Dados os vetores $\vec{u} = (1, a, -2a - 1)$, $\vec{v} = (a, a - 1, 1)$ e $\vec{w} = (a, -1, 1)$, determinar $a$ de modo que $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w}$. 2) Dados os pontos $A(-1, 0, 2)$, $B(-4, 1, 1)$ e $C(0, 1, 3)$, determinar o vetor $\vec{x}$ tal que $2\vec{x} - \vec{AB} = \vec{x} + (\vec{BC} \cdot \vec{AB}) \vec{AC}$. 3) Determinar o vetor $\vec{v}$, sabendo que (3, 7, 1) + 2$\vec{v}$ = (6, 10, 4) - $\vec{v}$. 4) Dados os pontos $A(1, 2, 3)$, $B(6, -2, 3)$ e $C(1, 2, 1)$, determinar o versor do vetor $3\vec{BA} - 2\vec{BC}$. 5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: $\vec{u} = (1, 1, 1) \quad e \quad \vec{v} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}...