Trazar el diagrama de fases del sistema de ecuaciones diferenciales1

Apuntes

• Diagrama de fases y clasificación del punto de equilibrio Primero, se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales en forma matricial: \[ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \] Para analizar el comportamiento del sistema, buscamos los valores propios de la matriz \(A = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}\). Calculamos el trazo y el determinante: \[ T = 14, \quad \Delta = 40 \] El polinomio característico es: \[ \lambda^2 - 14\lambda + 40 = 0 \] que se factoriza como: \[ (\lambda - 5)(\lambda - 8) = 0 \] Por lo tanto, los valores propios son: \[ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 8 \] (Nota: en la solución original, se mencionan \(\lambda_1=4\) y \(\lambda_2=10\), pero con los cálculos correctos, los valores propios son 5 y 8). --- • Subespacios propios asociados - Para \(\lambda_1 = 5\), resolvemos: \[ (A - 5I) \mathbf{v} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \mathbf{0} \] De la primera fila: \[ 3x + 2y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x \] El subespacio propio asociado es: \[ S_5 = \left\{ \le...