123

Apuntes

• Subtema: Derivación de una función compuesta Dada la función \( f(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^5 \), queremos encontrar su derivada. Para derivar \( f(x) \), aplicamos la regla de la cadena. La derivada es: \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{5-1} \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' \] \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \left[\frac{(x^2+1)' \cdot (x^2-1) - (x^2+1) \cdot (x^2-1)'}{(x^2-1)^2}\right] \] Calculamos las derivadas de los numeradores y denominadores: \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \left[\frac{2x \cdot (x^2-1) - (x^2+1) \cdot 2x}{(x^2-1)^2}\right] \] Simplificamos la expresión: \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \left[\frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2-1)^2}\right] \] \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \left[\frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2-1)^2}\right] \] \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \left[\frac{-2x - 2x}{(x^2-1)^2}\right] \] \[ f'(x) = 5 \cdot \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^4 \cdot \frac{-4x}{(x^2-1)^2} \] • Subtema: Tabla de derivadas básicas La tabla de...