5 ESPACIOS

Apuntes

5 ESPACIOS VECTORIALES Supongamos que tenemos ˛x “ px1 , . . . , xn q P R n y que se nos pide demostrar que 0 ¨ ˛x “ ˛0, donde ˛0 “ p0, . . . , 0q. Usando la definición de producto por escalares en R n , podemos utilizar el siguiente argumento: 0 ¨ ˛x “ 0 ¨ px1 , . . . , xn q “ p0 ¨ x1 , . . . , 0 ¨ xn q “ p0, . . . , 0q, donde la última igualdad se debe a que el número real cero multiplicado por cualquier otro número real da cero. De esta manera, queda demostrado que 0 ¨ ˛x “ ˛0. Ahora, pensemos en otra demostración para 0 ¨ ˛x “ ˛0. Sabemos de la aritmética en R que 0 “ 0 ` 0. Luego, podemos multiplicar la igualad anterior por ˛x y obtener la siguiente cadena de argumentos: 0 “ 0 ` 0 0 ¨ ˛x “ p0 ` 0q ¨ ˛x 0 ¨ ˛x “ 0 ¨ ˛x ` 0 ¨ ˛x (propiedad distributiva en R n ) 0 ¨ ˛x ` r´p0 ¨ ˛xqs “ p0 ¨ ˛x ` 0 ¨ ˛xq ` r´p0 ¨ ˛xqs (propiedad del elemento opuesto en R n ) ˛0 “ 0 ¨ ˛x ` r0 ¨ ˛x ` r´p0 ¨ ˛xqss (propiedad del elemento opuesto y asociativa) ˛0 “ 0 ¨ ˛x ` ˛0 (propiedad del elemento opuesto) ˛0 “ 0 ¨ ˛x. (propiedad del elemento neutro) Note que en la demostración anterior no usamos la estructura de ˛x ni la definición de la multiplicación por escalares en R n . Únicamente importaron l...