1 R 1e um corpo

Apuntes

1 R ´e um corpo Isto significa que est˜ao definidas em R duas opera¸c˜oes, chamadas adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, que cumprem certas condi¸c˜oes, abaixo especificadas. A adi¸c˜ao faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R, enquanto a multiplica¸c˜ao associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R. Os axiomas a que essas opera¸c˜oes obedecem s˜ao: Associatividade: para quaisquer x, y, z ∈ R tem-se (x+y)+z = x+(y+z) e (x · y) · z = x · (y · z). Comutatividade: para quaisquer x, y ∈ R tem-se x+y = y+x e x·y = y·x. Elementos neutros: existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x · 1 = x para qualquer x ∈ R. Inversos: todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x + (−x) = 0 e, se x 6= 0, existe tamb´em um inverso multiplicativo x −1 ∈ R tal que x · x −1 = 1. Distributividade: para x, y, z ∈ R quaisquer, tem-se x·(y+z) = x·y+x·z. Se¸c˜ao 2 R ´e um corpo ordenado 13 Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipula¸c˜ao com os n´umeros reais. A t´ıtulo de exemplo, estabeleceremos algumas delas. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ R. Analogamete 1·x = x e x −1 ·x = 1 quando x 6= 0. A soma...