3 Espacios

Apuntes

•Concepto de grupos, anillos y cuerpos Un grupo es un par (G, ⋆), donde G es un conjunto y ⋆ una operación en G que cumple las siguientes propiedades: (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z) para todo x, y, z ∈ G (asociativa); existe un elemento e ∈ G tal que x ⋆ e = x = e ⋆ x para todo x ∈ G (elemento neutro); y para cada x ∈ G, existe x−1 ∈ G tal que x ⋆ x−1 = e = x−1 ⋆ x (elemento inverso). Un grupo (G, ⋆) es conmutativo o abeliano si además x ⋆ y = y ⋆ x para todo x, y ∈ G. Un anillo (A, +, ·) es un conjunto A con dos operaciones: + y ·, que cumplen: + es interna (a + b ∈ A para todo a, b ∈ A), asociativa, tiene elemento neutro 0, cada elemento a tiene opuesto -a, y además es conmutativa. La multiplicación · también es interna, asociativa y distributiva respecto a +. Si la multiplicación es conmutativa, el anillo es conmutativo; si además tiene elemento neutro para ·, es un anillo unitario. Un cuerpo (K) es un anillo conmutativo, unitario, donde todo elemento distinto de cero tiene inverso. Además, (K, +) y (K, ·) son grupos abelianos, y se cumple la propiedad distributiva. •Espacios vectoriales, subespacios y combinaciones lineales Un espacio vectorial (V, +, ·) sobre un cuerpo K es u...