5. Hallar dominio y rango de las siguientes funciones

Apuntes

Claro, aquí tienes la resolución de todo lo que solicitaste, siguiendo las instrucciones para mejorar la estructura, corregir errores y mantener el contenido original. --- **5. Hallar dominio y rango de las siguientes funciones** **a.** \( y = 5x^2 + 3x - 4 \) - **Dominio:** La función es un polinomio, por lo tanto, su dominio es todos los números reales: \(\boxed{\mathbb{R}}\) - **Rango:** Como es un polinomio de grado 2 con coeficiente positivo, su gráfica es una parábola que abre hacia arriba. Para encontrar el valor mínimo (vértice): \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \times 5} = -\frac{3}{10} \] Sustituyendo en la función: \[ y_v = 5 \left(-\frac{3}{10}\right)^2 + 3 \left(-\frac{3}{10}\right) - 4 = 5 \times \frac{9}{100} - \frac{9}{10} - 4 = \frac{45}{100} - \frac{90}{100} - 4 = -\frac{45}{100} - 4 = -0.45 - 4 = -4.45 \] Por lo tanto, el rango es: \(\boxed{[-4.45, \infty)}\) --- **b.** \( y = 2x + 1 \) - **Dominio:** Todos los números reales, \(\mathbb{R}\). - **Rango:** También todos los números reales, ya que es una línea recta. \(\boxed{\mathbb{R}}\) --- **c.** \( y = \frac{5x}{x + 5} \) - **Dominio:** La función no está definida cu...