Capítulo 1: Conjuntos – Pertenencia, Subconjuntos y Representaciones

Apuntes

Esto es relevante en muchas situaciones en matem´aticas, en que se obtienen dos conjuntos mediante descripciones diferentes de sus elementos, pero que en realidad son lo mismo. Entonces, para establecer la igualdad, por lo general se intenta establecer la inclusi´on en ambos sentidos (tambi´en llamado doble inclusi´on). Considere como ejemplo los conjuntos A= {Tri´angulos que tienen sus tres lados iguales} y B= {Tri´angulos que tienen sus tres ´angulos internos iguales}. Resulta que estos conjuntos, a pesar de estar definidos por propiedades diferentes, son de hecho iguales, pues puede demostrarse que todo tri´angulo equil´atero tiene tambi´en iguales sus tres ´angulos internos. En s´ımbolos, describimos esta situaci´on como: A= B, es decir, x ∈A= ⇒ x ∈B y x ∈B= ⇒ x ∈A. Para abreviar, es com´un describir esta situaci´on mediante x∈A⇔x∈B, donde el s´ımbolo de doble implicaci´on, ⇔, se lee “si, y s´olo si”. As´ı, podemos leer la expresi´on completa como: “x pertenece a A si, y s´olo si, x pertenece a B”. Para cerrar esta secci´on, enunciaremos una Proposici´on (afirmaci´on que debe ser justificada) que resume las propiedades m´as relevantes de la relaci´on de inclusi´on. Proposici´on...