Álgebra I

Apuntes

Álgebra I aplicado a la Ingeniería Capítulo I: Lógica y Teoría de Conjuntos Semana 3: Operatoria de conjuntos. Cardinalidad. Tema 1 Operatoria de conjuntos Subconjunto Definición Sean A y B conjuntos de un universo U . Diremos que A es subconjunto de B, denotado por A ⊆ B, si cada elemento de A es un elemento de B. Simbólicamente: A ⊆ B ⇐⇒ (∀x ∈ U )(x ∈ A → x ∈ B). Dado cualquier conjunto A, se tiene que ∅ ⊆ A. Para los conjuntos numéricos: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R. 3 Ejemplo 1 • Si A= {x ∈ R : x2 + 2x = 0}, B= {−2, 0, 2, 3} y C= {0, 1}, entonces A ⊆ B, ya que {−2, 0} ⊆ {−2, 0, 2, 3}, peroA ⊈ C, ¿Por qué? • {x ∈ R : x2 < 9} ⊆ {x ∈ R : x < 3} ¿Es válida la inclusión opuesta? 4 Operatoria entre conjuntos Unión A ∪ B= {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} Intersección A ∩ B= {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} U U A B A B Este tipo de representaciones se denominan diagramas de Venn, en honor al matemá- tico y lógico británico John Venn. 5 Operatoria entre conjuntos Complemento Ac = {x ∈ U : x / ∈ A} Diferencia A− B= {x ∈ U : x ∈ A ∧ x / ∈ B} U U A A B Observación: Para todo conjunto A en un universo U se tiene que 1. A ∪ ∅= A 2. A ∩ ∅= ∅ 3. A ∪ U= U 4. A ∩ U= A 6 Ejemplo 2 1. Considere el universo U= {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 9} ...