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Apuntes

Universidade Lusófona - DEISI 2024/2025 Álgebra Linear LCiD, LCMA, LEI Teste Modelo 2 - Resolução Duração: 1h 05/2025 Justifique todas as suas respostas. 1. Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y = 0}. Diga, justificando, se U é um subespaço vetorial de R3. 1. U̸ = ∅, uma vez que, por exemplo, o vetor nulo (0, 0, 0) ∈ U : 2 × 0 − 0 = 0. 2. Sejam (x, y, z), (a, b, c) ∈ U . Verifiquemos se (x, y, z) + (a, b, c) ∈ U . Como (x, y, z) ∈ U , então 2x − y = 0 e, como (a, b, c) ∈ U , então 2a − b = 0. (x, y, z) + (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c) (x, y, z) + (a, b, c) ∈ U , se 2 × (x + a) − (y + b) = 0. Mas, como 2x − y = 0 e 2a − b = 0, 2 × (x + a) − (y + b) = 2x + 2a − y − b = (2x − y) + (2a − b) = 0 + 0 = 0. Logo, (x, y, z) + (a, b, c) ∈ U . 3. Seja (x, y, z) ∈ U e α ∈ R. Verifiquemos se α(x, y, z) ∈ U . Como (x, y, z) ∈ U , então 2x − y = 0. α(x, y, z) = (αx, αy, αz) α(x, y, z) ∈ U , se 2 × (αx) − (αy) = 0. Mas, como 2x − y = 0, 2 × (αx) − (αy) = 2αx − αy = α(2x − y) = α × 0 = 0. Logo, α(x, y, z) ∈ U . Como U verifica as 3 condições, então é um subespaço vetorial de R3. 2. Considere o espaço vetorial real R3. Sejam u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 2, 0) e u3 = (0, 1, −1). (a) Mostre que (u1, u2, u3...