La integral triple

Apuntes

• Definición de la integral triple: Sea \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) una función de tres variables. La integral triple de \(f\) en una región \(V\) se denota por \[ \iiint_{V} f(x, y, z) \, dv \] y se define como el límite cuando \(r \to 0^+\) de sumas de Riemann en regiones que se aproximan a \(V\). Es decir, \[ \iiint_{V} f(x, y, z) \, dv = \lim_{r \to 0^+} \sum_{n=0}^N f(x_n, y_n, z_n) \, \Delta v \] donde \(\Delta v\) es un elemento de volumen en la partición de la región. --- • Propiedades de la integral triple: 1. Linealidad: \[ \iiint_{S} [f(x, y, z) + g(x, y, z)] \, dv = \iiint_{S} f(x, y, z) \, dv + \iiint_{S} g(x, y, z) \, dv \] 2. Escalaridad: Si \(k\) es una constante, entonces \[ \iiint_{S} k \, f(x, y, z) \, dv = k \, \iiint_{S} f(x, y, z) \, dv \] 3. Propiedad de la región: Si \(S_1\) y \(S_2\) son regiones, entonces \[ \iiint_{S_1 \cup S_2} f(x, y, z) \, dv = \iiint_{S_1} f(x, y, z) \, dv + \iiint_{S_2} f(x, y, z) \, dv \] --- • La integral triple sobre un paraboloide: Sea \(P = [a, b] \times [c, d] \times [m, n]\) un paraboloide, cuya gráfica se muestra. La integral de \(f(x, y, z)\) sobre \(P\) se expresa como: \[ \iiint_{P} f(x, y, z...