Hacemos coincidir cada ecuaci1n con 223.

Apuntes

• Coincidencia de ecuaciones con (2): Hacemos coincidir cada ecuación con la ecuación (2). En la primera ecuación, tenemos \( P(y) = 2x \) y \( f(x) = 0 \). En la segunda ecuación, \( P(x) = -1 \) y \( f(x) = 5 \). Vea el problema 55 en los ejercicios 2.3. • Ecuación de Bernoulli y su forma general: La ecuación diferencial de Bernoulli es: \[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = f(x) \] donde \( n \) es cualquier número real. Se denomina ecuación de Bernoulli. Observe que, para \( n=0 \) y \( n=1 \), la ecuación (4) es lineal. Para \( n \neq 0 \) y \( n \neq 1 \), la sustitución \( u = y^{1-n} \) reduce cualquier ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal. • Solución de la ecuación y condición inicial: Despejando \( u \) de la última ecuación y sustituyendo, se obtiene la solución: \[ u = \frac{3(1 + c e^{6x})}{1 - c e^{6x}} \] Por lo tanto, la solución para \( y \) es: \[ y = 2x + \frac{3(1 + c e^{6x})}{1 - c e^{6x}} \] Aplicando la condición inicial \( y(0) = 0 \) en la última ecuación, se obtiene \( c = -1 \). • Gráfica de la solución particular: La figura 2.5.1, obtenida con la ayuda de un programa de graficación, muestra en azul oscuro la gráfica de la solución parti...