Progressões e Séries Geométricas

Apuntes

2 o SEMESTRE 2025/2026 Matemática Discreta (parte II) FOLHA APOIO 6 (págs.1 de 2) Progressão aritmética: n
i=p ai = ap + an 2 (n − p + 1) Progressão geométrica: n
i=p b i = b n+1 − b p b − 1 com b  = 1, b  = 0 e b ≤ n Série geométrica +∞
n=1 ar n−1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... com a  = 0 Se |r| < 1, então a série +∞
n=1 ar n−1 é convergente e a sua soma é S = a1 1 − r . Se |r| ≥ 1, então a série geométrica é divergente (não tem soma). Critério da divergência (ou do limite do termo geral) Se lim n→+∞ an não existir ou se lim n→+∞ an  = 0, então a série
n≥1 an é divergente. Critério de Dirichlet Seja a série
n≥1 1 n θ . Se θ > 1 então a série é convergente, se θ ≤ 1 a série é divergente. Critério da comparação Sejam
n≥1 an e
n≥1 bn séries de termos não negativos: i) Se
n≥1 bn for convergente e an ≤ bn para todos o n, então
n≥1 an também é convergente. ii) Se
n≥1 an for divergente e an ≤ bn para todos o n, então
n≥1 bn também é divergente. 1 FOLHA APOIO 7 (págs.2 de 2) Critério da comparação do limite Sejam as séries
n≥1 an e
n≥1 bn. Se lim n→+∞ an bn = p com p  = 0 e p  = ∞, então as séries são da mesma natureza, ambas convergentes ou am...