5. Limites e Continuidade

Apuntes

5. Limites e Continuidade Limites Em R, escrever x → a significa que x está arbitrariamente próximo de a, mas x̸ = a. Recorde-se: lim x→a f (x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε. Quando x → a, tem-se f (x) → b. x a − δ a a + δ f (x) b − ε b b + ε f Observação. Para funções de uma variável, quando x se aproxima de a há (quando muito) duas formas de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Para funções de duas variáveis, existem infinitas maneiras de (x, y) se aproximar de (a1, a2). Escrever (x, y) → (a1, a2) é o mesmo que x → a1 e y → a2. x y (a1, a2) a1 a2 Definição. Seja f : D ⊂ R n → R e seja a ponto de acumulação de D. Diz-se que lim x→a f (x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : 0 < ∥x − a∥ < δ
⇒ |f (x) − b| < ε. Para n = 2, usa-se a vizinhança aberta Bδ (a) em R 2 . D x y 0 (a1, a2) (x, y) δ z 0 b − ε b b + ε f x y z 0 (a1, a2 ) Dδ b + ε b b − ε S 1 Notação Se a = (a1, . . . , an), então lim x→a f (x) = b ⇐⇒ lim (x1,...,xn)→(a1,...,an) f (x1, . . . , xn) = b. É o mesmo que escrever lim x1→a1 x2→a2 . . . xn→an f (x1, x2, . . . , xn) = b. Observações. 1. a não tem de estar em D (basta a ∈ D ′ ). 2. b pode não ter nada...