Universidad de Santiago de Chile

Apuntes

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia, Departamento de Matemática y C.C. Coordinación de Álgebra II M.B.I. Michael Yáñez Pérez Segundo Semestre 2024. EXAMEN FINAL (EF) Miércoles 08 de enero, 09:50 horas NOMBRE: Nicolás Ganten Bein R.U.T.: 21.782.836-5 PROFESOR(A): John Huy Mehrava SECCIÓN: --- **1. (1.5 puntos)** Dado el sistema de ecuaciones lineales de orden 4 x 4: \[ \begin{cases} -x + 2a y + 4z + 2a t = 2 \\ -x + a y + 2z + a t = 1 \\ 2x + a y + (a + 4)z + 3a t = 9 \\ 3x - a y - 2z + t = 1 \end{cases} \] Utilizando el Teorema del Rango, determine el o los valores de \(\alpha \in \mathbb{R}\) tales que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones. --- **2. (1.5 puntos)** Considere \(c \in \mathbb{R}\) y los puntos \(P_1 = (2,3,1)\), \(P_2 = (3, -1, -4)\), \(P_3 = (1,2,1)\), \(A = (2,2,2)\) y \(B = (1, 2c, 3)\) en \(\mathbb{R}^3\). Entonces: **(a) (0.5 puntos)** Establezca una ecuación vectorial para la recta \(L\) que contiene a \(A\) y \(B\) en términos de \(c\). **(b) (1 punto)** Determine el valor de \(c \in \mathbb{R}\) tal que la recta \(L\) sea paralela al plano \(\pi\) que contiene simultáneamente a \(P_1\), ...