An´alisis

Apuntes

An´alisis Matem´atico A (Para Ingenieria y Ciencias Exactas y Naturales) Integrales A(x) = x∫ a f (t)dt UBA XXI An´alisis Matemm´atico A (Para Ingenieria y Ciencias Exactas y Naturales) Integral Indefinida Si f es una funci´on con dominio D, la funci´on F , definida en el mismo dominio es una primitiva de f s´ı y s´olo s´ı F es derivable en D y su derivada es f . Es decir, F es primitiva de f en D ⇔ ∀x ∈ D F ′(x) = f (x) Observaci´on: Si f tiene una primitiva, entonces tiene infinitas. Ejemplo: Tomamos f : R → R \ f (x) = 4x3 Vemos que esa f es, justamente, la derivada de x4. Por lo tanto, F (x) = x4 es una primitiva de f (porque F ′(x) = f (x)). Adem´as es f´acil ver que cualquier F del tipo F (x) = x4 + C donde C es cualquier constante tiene como derivada a f (x). Como se ve, hay infinitas primitivas, una para cada valor posible de C. Notaci´on: Se conoce como notaci´on de Leibniz el uso del s´ımbolo ∫ f (x)dx para designar una primitiva general de f . Es decir, que abarca todas las posibles primitivas de f . Estas primitivas se diferencian entre s´ı por una constante aditiva C, de modo que ∫ f (x)dx = F (x) + C Ejemplo: ∫ cos xdx = sin x + C ya que (sin x)′ = cos x En la secci´o...