CAP1TULO 7

Apuntes

CAPÍTULO 7 APLICACIONES DE ESPACIOS VECTORIALES REALES Sea W un subespacio de  n , w = proy W b es la proyección ortogonal de b sobre W. w es el vector en el subespacio W más cercano a b. Esto implica que es mínima. W proy    b w b b w = proy W b b W 7.2 MÍNIMOS CUADRADOS Un sistema Ax = b de mxn: 1. Es consistente, si y solo si, b pertenece al espacio columna de A. De forma equivalente: 2. Es inconsistente, si y solo si, b no pertenece al espacio generado por las columnas de A. Observación: Es decir, existe o no respectivamente, una combinación de las columnas de A que genera b. Resolver sistemas inconsistentes consiste en encontrar un vector que no satisface la ecuación Ax = b exactamente, sino , donde p es el más cercano a b como es posible. Es decir, De esta forma estamos seguros que es lo más pequeña posible. ˆ x ˆ A  x p Col.A ˆ A , donde proy  x = p p b ˆ A   b x b - p p=A = proy Col. A b b Espacio Col. A ˆ x La ecuación anterior se denomina sistema de ecuaciones normales asociado a Ax = b o bien sistema normal. Cualquier solución se llama solución por mínimos cuadrados del sistema Ax = b. Observación: Si Ax = b es consistente la solución obtenida por m...